Définition :
Soit \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) une forme bilinéaire symétrique sur un espace \({\Bbb K}\)-vectoriel \(E\) de dimension finie
La fonction $${{Q(x)}}={{\sigma(x,x),\quad x\in E}}$$ est appelée forme quadratique associée à \(\sigma\)
(Forme bilinéaire)
Norme par rapport à une forme quadratique
Remarque :
Soit \(q(x)=\sigma(x,x)\)
On appelle souvent norme de \(x\) par rapport à \(q\) l'expression : $${{\lVert x\rVert}}={{\sqrt{\lvert q(x)\rvert} }}$$
Proposition :
On fixe une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\) et \(\sigma(x,y)=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_iy_j=x^TAy\) où \(A=(a_{ij})\) et \(a_{ij}=\sigma(e_i,e_j)\)
La matrice \(B\) de la forme quadratique \(Q(x)=\sigma(x,x)\) dans la base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) est donnée par : $$b_{ij}={{\begin{cases} a_{ij}&\text{si}\quad i=j\\ 2a_{ij}&\text{si}\quad i\lt j\\ 0&\text{si}\quad i\gt j\end{cases}}}$$ et on a donc : $${{Q(x)}}={{\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}b_{ij}x_ix_j}}$$
Polynôme
Proposition :
La forme quadratique \(Q\) est un polynôme à une variable qui est homogène de degré \(2\) : $$Q(\lambda x)=\lambda^2Q (x)$$
NB : le polynôme \(Q\) est quadratique par rapport aux variables \(x_1,\ldots,x_n\)
Forme polaire
Proposition :
Si \(Q\) est une forme quadratique associée à \(\sigma\), alors on peut trouver \(\sigma\) comme ceci : $$\sigma(x,y)={{\frac{Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2} }}$$
\(\sigma\) est alors dite polaire par rapport à la forme quadratique \(Q\)
Conservation du signe
Proposition :
La forme \(Q\) ne change pas de signe si \(\mathfrak I_Q=\{0\}\)
(Cône isotrope)
Caractérisation
Caractérisation :
\(q\) est une forme quadratique si et seulement si sa forme polaire est bilinéaire